Brüche

Einführung

Brüche sind Teile von ganzen Zahlen. In diesem Thema behandle ich die echten Brüche; wie sich Nenner und Zähler verhalten und welche Kombinationen welche Dezimalfolgen ergeben. Ein Bruchrechner befindet sich auf dict.ch.

Zahlen faszinieren viele Menschen, so auch mich. Vor einer Weile habe ich mir überlegt, wie Brüche aufgebaut sind. Erkenntnisse aus dieser Betrachtung werde ich hier dokumentieren und haben schon dazu geführt, dass ich den Code beim Bruchrechner komplett überarbeiten musste. ;-)

Ideen / Annahmen

1. Wie lange dauert es, bis sich ein Bruch wiederholt?
2. Gibt es Brüche mit irrationalen Zahlenfolgen (wie Pi oder die Eulersche Zahl), welche sich nicht wiederholen?
3. Wie viel Mal muss man einen Bruch teilen, bis man merkt, dass er nicht sauber teilbar ist?
4. Kann man Symetrien in der Bruchfolge aus den GGT des Nenners erkennen?
5. Falls es Symetrien aus dem GGT gibt, welcher Art sind diese?
6. Unterschieden sich die Bruchwerte von Primzahlen von teilbaren Zahlen?
7. Welchen Einfluss übt der Zähler auf den Bruchwert aus?
8. Wie wirkt sich das Verhältnis vom Zähler zum Nenner auf den Bruchwert aus?

Erkenntnisse

1. Bei der Wiederholung stellte sich heraus, dass sich die Stellen spätestens nach Nenner Minus 1 wiederholen, wobei es sein kann, dass die ersten paar Zahlen noch abweichen, da sich wie bei einer Schwingung die Werte zuerst einpendeln.
2. Nicht wiederholbare Zahlenfolgen haben ich entsprechend keine gefunden, was auf Grund der Restmenge auch logisch ist. Egal welches Zahlensystem man nimmt, es wird immer um den gleichen Betrag verschoben. Beim Dezimalsystem ist es 10. Dadurch entsteht eine Zahlenfolge, welche entweder durch den vollständigen Bruch aufhört oder sich unendlich wiederholt.
3. Beim Erarbeiten bemerkte ich, dass die längste aufhörende Bruchfolge immer ein vielfaches von 2 ist. Somit ist ein Bruch nur dann teilbar, wenn er nach 2 hoch x Stellen abbricht, wobei dies die abgerundete tiefere Zahl ist. Als Beispiel 19. Hier ist die nächsttiefere Zahl 16 (2 hoch 4). Entsprechend muss 19 nach 4 Stellen abbrechen, denn sonst ist die Zahlenfolge unendlich.
4. Es scheint Symetrien zu geben. So ist etwa 18 aus 2 und 3 zusammengesetzt (2,3,3) und 14 aus 2 und 7. Entsprechend sind manche Zahlenfolgen wie bei 2 (schnell abbrechend) und 3 (unendlich gleiche Zahl) oder 7 (iterierend nach 6 Stellen) aufgebaut.
5. Ob es eine entsprechende Regel für den Aufbau aus den GGT (Grösster Gemeinsamer Teiler) gibt, muss noch geklärt werden.
6. Erste Erkenntnisse aus den GGT scheinen zu zeigen, dass sich Bruchwerte von Primzahlen immer nach dem Schema Nenner Minus 1 wiederholen, während sich zusammengesetze Zahlen nach den Bruchwerten ihrer GGT richten.
7. Der Zähler bestimmt den Aufbau des Bruchwertes mit, doch ist er für diesen nur in untergeordneter Folge zuständig.
   1. Vielfache des einmaligen Zählers bewirken keine Veränderung, sondern beeinflussen nur die Ganzzahl vor dem Bruch und können somit vernachlässigt werden. Es zählt nur der effektive Modulo des Bruchs. 3:17, 20:17 und 173:17 sind somit gleichwertig, da alle nach der ersten Teilung mit dem Restwert 3 arbeiten, welche die Bruchfolge bestimmt.
   2. Der Rest des Zählers bewirkt nur eine Erhöhung des Bruchwertes. Je nach Vielfachem kann dies dazu führen, dass aus endlosen Zahlenreihen eine endliche Reihe wird (viefaches von drei etwa), doch die Art der Zahlenfolge ändert sich nicht grundlegend. Das Grundmuster das bei Rest 1 gebildet wird, bleibt bis Nenner Minus 1 bestehen, wie wenn eine Frequenz in der Höhe angehoben wird. Bei bestimmten Höhen kann es dabei zu einer Auslöschung kommen, doch das Muster verändert sich nicht.
8. Da der Zähler auf den Restwert reduziert werden kann, ist das Verhältnis zum Nenner nicht von Interesse. Es verbleiben die aus dem vorherigen Punkt aufgezählten Erkenntnisse.