Funktionslehre

Einführung

Diese Seite behandelt Themen über Mathe. Wie man Formeln eingibt, kann man im Artikel https://en.wikipedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula nachschauen. Manche Themen sind der Übersicht halber ausgegliedert auf eigenen Seiten.

Punkt

Ein Punkt ist ein genau definierter Ort im System (P). Je nach Dimension braucht es mehrere Werte, um diesen Punkt genau zu bestimmen und zwar pro Dimension einen Wert.

• 1 Dimension (Strahl) = 1 Wert (x = 5) → 5
• 2 Dimensionen (Gitternetz) = 2 Werte (x = 7, y = 5) → (7/5)
• 3 Dimensionen (Koordinatennetz) = 3 Werte (x = -2, y = 5, z = -4) → (-2/5/-4)
• In der Mathematik interessiert normalerweise nur, ob ein anderes Objekt einen bestimmten Punkt berührt oder ob er sich in einer bestimmten Entfernung davon befindet.
• Bei imaginären Dimensionen > 3 werden die Dimensionen entsprechend erweitert und meist auch anders benannt (n = -1, m = 0, o = 4, p = 6) → (-1/0/4/6).
• In der Vektor-Darstellung werden die Werte untereinander geschrieben, wobei x zuoberst, dann y und nachher z kommt. $P={\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}}$

Lineare Funktionen

Grundvoraussetzungen

• Bei einer linearen Funktion entsteht immer eine Linie, welche als Gerade bezeichnet wird.
• Die Steigung der Linie in Bezug auf die x-/y-Achse wird meist mit dem Kürzel $m$ bezeichnet.
• Die Steigung beschreibt, wie stark sich der y-Wert in Bezug auf den x-Wert ändert. Dieser Wert wird als Verhältnis ${\frac {\Delta y(y1-y0)}{\Delta x(x1-x0)}}$ beschrieben.
• Die Zahl ohne Variable beschreibt den Abstand der Geraden zum Nullpunkt.
• Der unbekannte Wert wird mt y bezeichnet und hängt immer von der Anfangsgrösse x ab.

$y=mx+c$

Beispiel lineare Funkion

Gerade als Funktion

$y=2x+3$

In diesem Fall ist die Steigung $m=2$ und die Verschiebung des Nullpunkt-Durchgangs $c=3$.

Für den Wert 4 von x erhält man dann $2*4+3=11$ für y. Für den Wert -2 von x ergibt sich $2*-2+3=-1$ für y.

Gerade als Vektor

In diesem Fall wird ein Punkt auf der Gerade angegeben und anschliessend die Verschiebung von dort in die entsprechenden Achsen.

g = ${\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}}+r*{\begin{pmatrix}-1\\7\\2\end{pmatrix}}$

In diesem Fall wird von jedem beliebigen Punkt auf der Geraden immer um ein vielfaches von -1 Richtung x-Achse verschoben, während man sich auf der y-Achse um 7 bewegt und auf der z-Achse um 2. Wenn man also den Faktor r = 3 wählt und als Startpunkt die gegebenen Werte ${\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}}$, so landet man auf ${\begin{pmatrix}3+3*-1\\4+3*7\\5+3*2\end{pmatrix}}$ → ${\begin{pmatrix}0\\25\\11\end{pmatrix}}$

Windschiefe Geraden

Diese Geraden können nur in 3 oder mehrdimensionalen Räumen auftreten, da sie nicht parallel sind, doch sich nicht kreuzen. Dies geht entsprechend nur, wenn sie in einer Ebene "parallel" sind und sich nur in den anderen Ebenen unterscheiden. In einem 2-dimensionalen Raum würden sie sich entsprechend immer schneiden oder parallel sein.

Winkel berechnen

Der Winkel in Bezug zur x-Achse kann auf Grund des Verhältnisses der Steigung bestimmt werden (Mathebibel Steigungswinkel), da die Steigung das Verhältnis vom x zum y Wert angibt. Entsprechend kann der Tangens berechnet werden und dadurch der Steigungswinkel. Heisst etwa die Formel $y=2x+3$, so ist nur der Wert 2 relevant. Je nach Rechner kann man hier direkt $\arctan(2)$ eingeben. Sollte die Funktion nicht zur Verfügung stehen, so gibt es Onlinerechner: Rechner Club. Theoretisch kann man ihn auch mit folgender Formel berechnen: ${\frac {x}{1+0.28*x^{2}}}$, doch das gibt mir komische Werte.

Gerade und Punkt berechnen

Hat man eine lineare Funktion und möchte wissen, ob diese einen Punkt berührt, so kann man die Werte entsprechend einsetzen.

Funktion

$P=(3/9)$, $f(x)=2x+3$

$y=2*3+3$ → $y=9$ Entsprechend liegt der Punkt auf der Geraden.

Vektor

$P={\begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix}}$, $g={\begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}}+r*{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$

Damit man weiss, ob der Punkt auf der geraden liegt, muss der Faktor der Gleichung immer den selben Wert annehmen:

• $3=-3+1r$ → $r=6$
• $9=4+2r$ → $r=2.5$

In diesem Fall ist der Faktor unterschiedlich und damit liegt der Punkt nicht auf der Geraden. Die Vorgehensweise ist auch bei mehr Dimensionen die Gleiche. Der Wert muss in allen Dimensionen übereinstimmen.

Schnittpunkt zweier Geraden

Bei zwei Geraden kann es sein, dass diese keinen definierten Schnittpunkt haben, weil diese

• vielfache (unendliche Schnittpunkte)
• parallele (keine Schnittpunkte)
• windschief (keine Schnittpunkte, da auf einer Ebene parallel)

sind.

Diese Punkte müssen geprüft werden, wenn die Lösung keine eindeutige Schnittmenge liefert.

Funktionen

Bei Funktionen ist dies relativ einfach, da man diese einfach gleichsetzen kann: $f:2y+3=4x$, $g:8=3x-3y$

• Zuerst eine der Variablen alleine setzen: $f:y={\frac {4x-3}{2}}$, $g:y={\frac {3x-8}{3}}$
• Nun kann man das Additions-, Einsetzungs- oder Gleichsetzungsverfahren anwenden. Bei nur einer unbekannten ist die Gleichsetzung die einfachste. Bei mehreren Dimensionen ist sicher die Addition die gebräuchlichste.
• ${\frac {4x-3}{2}}={\frac {3x-4}{3}}$ → $x={\frac {1}{6}}$
• Nun kann x eingesetzt werden und man erhält dadurch: $y={\frac {4*{\frac {1}{6}}-3}{2}}$ → $y=-{\frac {7}{6}}$

Vektoren

Bei Vektoren ist das Vorgehen gleich wie bei Funktionen. Diese werden gleichgesetzt und anschliessend werden die fehlenden Werte berechnet: $f:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}}+r*{\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}}$, $g:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}+s*{\begin{pmatrix}-6\\-1\end{pmatrix}}$

• Gleichsetzen der x-Werte: $5+2r=2-6s$
• Gleichsetzen der y-Werte: $7-3r=4-s$
• Nun wird wieder nach einer Variable aufgelöst: $r=-{\frac {1+2s}{2}}$, $r={\frac {3+s}{3}}$
• Jetzt werden diese gleichgesetzt: $-{\frac {1+2s}{2}}={\frac {3+s}{3}}$ → $s=-{\frac {3}{4}}$
• Nun kann s eingesetzt werden und man erhält: $7-3r=4-{\frac {3}{4}}$ → $r={\frac {5}{4}}$
• Nun setzt man einen der Werte in den entsprechenden Vektor und erhält den Schnittpunkt: $f:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}}+{\frac {5}{4}}*{\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}}$ → $S={\begin{pmatrix}7.5\\4.75\end{pmatrix}}$, $g:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}+-{\frac {3}{4}}*{\begin{pmatrix}-6\\-1\end{pmatrix}}$ → $S={\begin{pmatrix}7.5\\4.75\end{pmatrix}}$

Wie man sieht, genügt es eigentlich, wenn man nur einen Wert berechnet und einsetzt. Berechnet man aber beide Werte, so kann man sofort beim Einsetzen feststellen, ob die Rechnung korrekt ist, wenn nämlich beides Mal der gleiche Schnittpunkt herauskommt.

Umwandlung einer Funktionsgeraden in einen Vektor und umgekehrt

Da beide Darstellungen (Funktion / Vektor) identisch sind, doch einfach in einer anderen Darstellungsweise, kann man diese ineinander umrechnen. Dies ist etwa notwendig, wenn man eine Gerade als Vektor hat und wissen möchte, wo diese eine gegebene quadratische Funktion schneidet.

Vektor → Funktion

$g={\begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}}+r*{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$

• Zuerst wird die Steigung $m$ berechnet. Diese ergibt sich aus dem hinteren Teil, der die Steigung als Steigungsdreieck angibt. Die Steigung wird daher als Bruch der Differenzen berechnet: $m={\frac {2}{1}}$ → $m=2$. Bei mehr Dimensionen müssen halt einfach alle einberechnet werden, um die Steigung korrekt anzugeben.

• Nun muss noch der Punkt berechnet werden, an dem die Steigung die y-Achse schneidet. Dazu müssen wir den Punkt $(0/y)$ berechnen, welcher sich ergibt, wenn wir diesen mit der Geraden gleichsetzen und r berechnen, wodurch wir dann y erhalten. $0=-3+r*1$ → $r=3$ nun setzen wir $r$ in die zweite Gleichung ein, um $y$ zu berechnen: $y=4+3*2$ → $y=10$
• Nun können wir die Funktion aufschreiben $y=2x+10$

Funktion → Vektor

$y=2x+10$

• Bei der Umrechnung einer Funktion in einen Vektor müssen wir nicht unbedingt den gleichen "Startpunkt" erhalten, wie wenn man von einem Vektor in eine Funkion umrechnet, da der Vektor von einem beliebigen Punkt auf der Geraden definiert werden kann.
• Da jede Funktion die Y-Achse beim Punkt $x=0$ schneidet, können wir direkt einen Startpunkt auslesen. In diesem Fall ist dies (0/10) → $g={\begin{pmatrix}0\\10\end{pmatrix}}+r*{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$
• Die Steigung ist das Produkt der Differenz von y und x. In diesem Fall $m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {2}{1}}$. Dies gibt uns nun direkt den Vektor:
• $g={\begin{pmatrix}0\\10\end{pmatrix}}+r*{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$

Man sieht, dass der Steigungsvektor im hinteren Teil identisch ist. Möchte man nun kontrollieren, ob der Startpunkt in der obigen Rechnung (-3/4) wirklich auch auf der Gerade liegt, wird wieder das Kapitel "Punkt und Gerade" angewendet: $-3=0+r*1$ → $r=-3$. Nun wird dieser Wert für y überprüft: $4=10+-3*2$ → $4=4$. Da die Aussage wahr ist, stimmt der berechnete Vektor mit dem Ursprungsvektor überein und die Umwandlung ist korrekt, auch wenn man nicht die gleichen Werte bekommen hat.

Kurvendiskussion (quadratische Funktionen)

Unter Kurvendiskussion versteht man spezielle Punkte einer mindestens quadratischen Funktion, da erst mit einem quadratischen Anteil eine Kurve entsteht. Ist der quadratische Anteil 0, so entsteht wieder eine Gerade.

Formen der quadratischen Form

allgemeine Form

Die Normalform oder allgemeine Form wird folgendermassen geschrieben: $f(x)=ax^{2}+bx+c$.

Bei höheren Polynomen entsprechend: $f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$ (wobei manche Zwischenwerte wegfallen können, wenn diese 0 sind).

Scheitelform

Bei der Scheitelform kann man aus der Funktion den Wert des Scheitelpunktes direkt ablesen:

$f(x)=a(x-d)^{2}+e$ → $S=(-d|e)$

$f(x)=(x-1)^{2}+3$ → $S=(1|3)$

Wichtig ist hier, dass -d genommen wird und nicht d selber!

Einfluss der Parameter in der Scheitelform

Die Parameter bestimmen die Form der Parabel.

• a bestimmt Öffnungsrichtung und Streckung/Stauchung
• d bestimmt die Verschiebung in x-Richtung
• e bestimmt die Verschiebung in y-Richtung
• a>0: Parabel nach oben geöffnet
• a<0: Parabel nach unten geöffnet
• ∣a∣<1: Parabel Richtung y-Achse gestaucht (im Vergleich zur Normalparabel)
• ∣a∣>1: Parabel Richtung y-Achse gestreckt (im Vergleich zur Normalparabel)
• d>0: Verschiebung um d nach rechts
• d<0: Verschiebung um d nach links
• e>0: Verschiebung um e nach oben
• e<0: Verschiebung um e nach unten

Quadratische Form in Scheitelform unwandeln und umgekehrt

Da auch hier wie bei Vektoren- und Koordinatendarstellung der Ausdruck äquivalent, doch einfach in einer anderen Form ist, kann man diese ineinander überführen.

Bei der Überführung bleibt der Wert von a gleich, doch die Werte von b/c und d/e passen sich entsprechend an.

allgemeine Form → Scheitelform

Die Umwandlung von der allgemeinen Form zur Scheitelform erfolgt mit quadratischer Ergänzung.

$f(x)=ax^{2}+bx+c$ → quadratische Ergänzung → $f(x)=a(x-d)^{2}+e$

Scheitelform → allgemeine Form

Die Umwandlung von der Scheitelform zur allgemeinen Form geschieht durch Auflösen der Klammer mit Hilfe der binomischen Formeln und Zusammenfassen der Werte.

$f(x)=a(x-d)^{2}+e$ → binomische Formeln → $f(x)=ax^{2}+bx+c$

Scheitelpunkt berechnen

Wenn die Funktion in der Normalform ($f(x)=ax^{2}+bx+c$) darliegt und nicht in der Scheitelform ($f(x)=a(x-d)^{2}+e$), kann man den Scheitelpunkt auf Grund der Parameter trotzdem "einfach" berechnen. Der Scheitel einer Parabel ist aus den Parameter a, b und c immer fix definiert. Der Punkt auf der x-Achse liegt immer bei $x=-{\frac {b}{2a}}$.
Der Scheitelpunkt kann nun entsprechend durch Ableitung oder quadratische Ergänzung bestimmt werden.
Die Koordinaten von y kann man entsprechend des Wertes von x berechnen und erhält dann den Scheitelpunkt: $S=(-{\frac {b}{2a}}|c-{\frac {b^{2}}{4a}})$.

(quadratische) Funktion aus gegebenen Punkten berechnen

Soll eine Funktion gesucht werden, welche durch 2 Punkte geht, so nimmt man eine Lineare Funktion. Bei drei oder mehr Punkten muss es ein entsprechendes Polynom sein, da man pro Punkt eine Gleichung erhält und somit pro Punt eine weitere Gleichung braucht. Dadurch kann man auch sehen, wie viel Polynome es für die Punkte braucht.

Manche Punkte können aber auch nicht mit einer Kurve erreicht werden, wenn sie sich etwa direkt übereinander befinden, da dann eine Kurve mit unendlicher Steigung gebraucht würde.

notwendige Schritte

1. Zuerst fügt man die Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung $f(x)=ax^{2}+bx+c$ ein. Bei mehr Punkten muss entsprechend um $x^{3}+x^{4}+...$ erweitert werden.
2. Danach wird das nun entstehende Gleichungssystem aufgelöst.
3. Nun erhält man die resultierende Gleichung.

Beispiel-Aufgabe

$A(5|3),B(3|-2),C(-4|7)$

1. Allgemeine Funktionsgleichungen
   • $A(5|3)$ → $3=a*(5)^{2}+b*(5)+c$ → $3=25a+5b+c$
   • $B(3|-2)$ → $-2=a*(3)^{2}+b*(3)+c$ → $-2=9a+3b+c$
   • $C(-4|7)$ → $7=a*(-4)^{2}+b*(-4)+c$ → $7=16a-4b+c$
2. Gleichungssystem auflösen (Kann mit dem Additions-, Subtraktions-, oder Gleichsetzungsverfahren gelöst werden)
   • $3=25a+5b+c$ → $3-25a-5b=c$
   • $-2=9a+3b+c$ → $-2-9a-3b=c$
   • $7=16a-4b+c$ → $7-16a+4b=c$
   • $3-25a-5b=-2-9a-3b$ → $5-16a=2b$ → ${\frac {5-16a}{2}}=b$
   • $-2-9a-3b=7-16a+4b$ → $-9+7a=b$
   • ${\frac {5-16a}{2}}=-9+7a$ → $5-16a=-18+14a$ → $23=30a$ → ${\frac {23}{30}}=a$
   • $5-16a=2b$ → $5-16*{\frac {23}{30}}=2b$ → $5-{\frac {92}{15}}=b$ → $-{\frac {17}{15}}=b$
   • $3=25a+5b+c$ → $3=25*{\frac {23}{30}}+5*-{\frac {17}{15}}+c$ → $18=115-34+c$ → $63=c$
3. Werte in Gleichung einsetzen
   • $f(x)={\frac {23}{30}}x^{2}-{\frac {17}{15}}x+63$

quadratische Funktion aus Scheitelpunkt und gegebenem Punkt berechnen

In diesem Fall hat man durch den Scheitelpunkt mit der Scheitelform schon 2 der 3 notwendigen Parameter und kann durch einsetzen der Wete des zusätzlichen Punktes die Funktion vollständig berechnen.

notwendige Schritte

1. Scheitelform durch Scheitelpunkt aufstellen
2. Parameter a durch einsetzen des Punktes errechnen
3. Resultierende Gleichung aufschreiben.

Beispiel-Aufgabe

$S(3|7),P(-2|-4)$

1. Scheitelform aufstellen
   • $f(x)=a*(x-3)^{2}+7$
2. Parameter a berechnen
   • $-4=a*(-2-3)^{2}+7$ → $-4=a*-25+7$ → $-{\frac {11}{25}}=a$
3. Werte in Gleichung einsetzen
   • $f(x)=-{\frac {11}{25}}*(x-3)^{2}+7$

Funktion aus Parabel ablesen

Ist am einfachsten, wenn man den Scheitelpunkt nimmt und dann eine Einheit nach rechts oder links geht und schaut, auf welchem y-Punkt diese liegt, da man daraus direkt die Steigung a ablesen kann.

Wenn der Scheitel nicht sichtbar ist, so muss man drei Punkte aus der Parabel picken und wie oben gezeigt auflösen.

Schnittpunkte zweier Funktionen

Die Schnittpunkte befinden sich dort, wo die y-Werte gleich sind. Handelt es sich um mehrdimensionale Funktionen, so müssen entsprechend mehrere Werte übereinstimmen. Normalerweise wird aber nur im X-Y Koordinaten-System gerechnet.

Polynom mit Gerade

Hier gibt es maximal so viele Schnittpunkte wie das höchste Polynom ($x^{3}$ → max. 3). Je nach Verlauf des Polynoms und der Geraden kann es aber auch weniger oder keine Schnittpunkte geben.

$f(x)=x^{3}+2x^{2}-4x+2$ und $g(x)=3x+2$

• Zuerst werden die Funktionen gleich gesetzt: $x^{3}+2x^{2}-4x+2=3x+2$
• Nun wird die Normalform erstellt: $x^{3}+2x^{2}-7x=0$
• Nun werden die Nullstellen gesucht. Die erste findet sich durch ausklammern von x: $x(x^{2}+2x-7)=0$
• Die weiteren Nullstellen in der Klammer lassen sich mit der quadratischen Ergänzung oder der Mitternachtsformel finden ($x_{2,3}=-2\pm {\sqrt {32}}$)
• Nun kann man die x-Werte in eine der beiden Funktionen einsetzen, um die y-Werte zu bestimmen, wobei es sich lohnt, die einfachere zu verwenden ;-)
• g(0) → A(0|2)
• g($-2-{\sqrt {32}}$) → B($-2-{\sqrt {32}}$|$-8-3{\sqrt {32}}$)
• g($-2+{\sqrt {32}}$) → C($-2+{\sqrt {32}}$|$-4+3{\sqrt {32}}$)

Polynom mit Polynom

Hier ist das Vorgehen analog dem Schnittpunkt mit einer Geraden. Auch hier werden die Funktionen gleichgesetzt und die Nullstellen bestimmt.

$f(x)=x^{3}+2x^{2}-4x+2$ und $g(x)=3x^{3}-2x+2$

• Normalform: $f(x)=-2x^{3}+2x^{2}-2x=0$
• Ausklammern: $f(x)=-2x(x^{2}-x+1)=0$
• Teilen durch -2: $f(x)=x(x^{2}-x+1)=0$
• Mitternachtsformel: $x_{2,3}=1\pm {\sqrt {-3}}$ → keine weitere reelle Lösung

Ableitung

Durch die Ableitungen der Funktion kann man deren Extremstellen bestimmen. Dies, da Funktionen einem entsprechenden Muster folgen:

• Jeder Extrempunkt (hoch / tief) entspricht einer Nullstelle der 1. Ableitung der Funktion
• Jeder Wendepunkt ist ein Extrempunkt der 1. Ableitung
• Entsprechend ist jeder Wendepunkt eine Nullstelle der 2. Ableitung.

Für die Unterkapitel wird die folgende Funktion genommen: $f(x)=-x^{3}-6x^{2}+4x+5$
Für die Ableitung wird immer die Hochstelle genommen und mit der Vorzahl multipliziert:

1. Ableitung: $-x^{3}$ → $-3x^{2}$ | $-6x^{2}$ → $-12x$ | $4x^{1}$ → $4$ | $5x^{0}$ → $0$ | → $-3x^{2}-12x+4$
2. Ableitung: $-3x^{2}$ → $-6x$ | $-12x^{1}$ → $-12$ | $4x^{0}$ → $0$ | → $-6x-12$

Steigung an Stelle x

Bei der Ableitung 1. Grades wird die Steigung der Funktion an der Stelle x bestimmt.

• Ist $f'(x)>0$ so steigt der Graph (Kurve) an der Stelle $x_{0}$.
• Ist $f'(x)<0$ so fällt der Graph (Kurve) an der Stelle $x_{0}$.
• Bei $f'(x)=0$ verläuft der Graph an der Stelle $x_{0}$ waagrecht. Dies bedeutet, dass an dieser Stelle ein Wendepunkt in der Funktion ist.

Die erste Ableitung lautet ja $-3x^{2}-12x+4$. Setzt man nun für x den Wert -5 ein, so erhält man -11. Setzt man -4 ein, so ergibt es 4. Das heisst, dass die Funktion bei -5 fällt, während sie bei -4 steigt.

Extrempunkte (hoch / tief)

Hier wird die erste und zweite Ableitung verwendet.

• Zuerst werden die Nullstellen der ersten Ableitung berechnet, welche anzeigen, dass es dort Extrempunkte gibt
• Danach werden diese Werte in die zweite Ableitung eingesetzt und so bestimmt, ob es Hoch- oder Tiefpunkte sind.
• Ist $f''(x)>0$ so handelt es sich um ein Minimum.
• Ist $f''(x)<0$ so handelt es sich um ein Maximum.
• Ist $f''(x)=0$ so kann man keine Aussage treffen.

Die erste Ableitung lautet: $-3x^{2}-12x+4$. Nun müssen die Nullstellen berechnet werden (pq- oder Mitternachtsformel). Die Nullstellen lauten daher:$-2\pm {\sqrt {5{\frac {1}{3}}}}$. Nun muss aber noch geschaut werden, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt.

Dafür wird die zweite Ableitung gebraucht, welche hier $f(x)=-6x-12$ lautet. Hier muss geschaut werden, wie der y-Wert der Extremstellen lautet. Dazu werden diese in die abgeleitete Funktion eingesetzt.

• $y1=-6*(-2+{\sqrt {5{\frac {1}{3}}}})$ = 25.9
• $y2=-6*(-2-{\sqrt {5{\frac {1}{3}}}})$ = -1.9

Somit ist y1 ein Minimum und y2 ein Maximum.
Als Alternative könnte auch die Monotomie der Funktion betrachtet werden. Ist die erste Ableitung vorher negativ und nachher positiv, so ist es ein Minimum und umgekehrt ein Maximum.
Bleibt das Vorzeichen gleich, so handelt es sich um einen Terassenpunkt.

Gibt es nur ein Max- oder Minimum, so ist die Stelle gleichzeitig das globale Max- oder Minimum. Bei mehreren Werten muss man entsprechend den y-Wert der originalen Funktion berechnen und vergleichen.

Wende- / Terassenpunkte

Ein Wendepunkt ist eine Nullstelle der zweiten Ableitung. Der Wendepunkt unterscheidet sich vom Terassenpunkt darin, dass sich das Vorzeichen der Steigung beim Wendepunkt ändert, während es beim Terassenpunkt gleich bleibt. Entsprechend ist auch klar, dass es min. ein Polynom mit $x^{3}$ braucht, damit es Wendepunkte gibt.

Die zweite Ableitung lautet $-6x-12$, womit die Nullstelle bei -2 liegt. Somit gibt es in der originalen Funktion nur einen Wendepunkt bei $x=-2$. Setzt man den Wert in die originale Gleichung ein, so sieht man, dass dieser bei $y=-19$ liegt. Der Wendepunkt liegt also bei $W=(-2|-19)$

Spezielle Ableitungsregeln

Wenn man nicht einfach normale Zahlen hat, sondern Brüche usw. muss man nach folgendem Schema vorgehen:

• Bruch: ${\frac {2}{x^{3}}}$ → umgekehrt potenzieren → $2x^{-3}$ → ableiten → $-6x^{-4}$ → Bruch wieder herstellen → $-{\frac {6}{x^{4}}}$
• potenzierter Bruch: $x^{\frac {1}{3}}$ → Der Bruch kommt nach vorne und in der Potenz wird noch -1 gerechnet → ${\frac {1}{3}}*x^{{\frac {1}{3}}-1}$ → ${\frac {1}{3}}*x^{-{\frac {2}{3}}}$
• Wurzel: Kann als potenzierter Bruch geschrieben werden → ${\sqrt[{3}]{x}}$ → $x^{\frac {1}{3}}$ -> dann einfach als Potenz berechnen (siehe oben) und wieder rückwandeln → ${\frac {1}{3{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}}$
• Eulersche Zahl: bleibt gleich. Faktor kommt runter, doch er wird nicht abgezählt.$e^{5x}$ → $5e^{5x}$
• sin(x): cos(x)
• cos(x): -sin(x)
• Logarithmus: ln(x) → ${\frac {1}{x}}$

Tangente an Funktion

Hier wird die Steigung an einem bestimmten Punkt berechnet. Da hierbei die Differenz gegen 0 geht, muss der Limes an diesem Punkt berechnet werden. Dies erreichen wir, indem wir die Ableitung anwenden. Dazu ein Beispiel: $f(x)=2x^{2}+6x-3$.
Berechne die Tangente im Punkt P(3/y).

• Zuerst wird y berechnet, indem der x-Wert in die Formel eingesetzt wird: $y=2*3^{2}+6*3-3=33$
• Nun haben wir den Punkt P(3/33) und bilden die Ableitung: $f'(x)=4x+6$
• Nun setzen wir die Stelle 3 in die Ableitung ein und erhalten die Steigung: $m=4*3+6=18$
• Jetzt kann der Nulldurchgang der Tangente berechnet werden: $f(T)=mx+b$ → $33=18*3+b$ → $b=-21$
• Daraus ergibt sich die Tangentengleichung: $f(T)=18x-21$
• Setzen wir hier wieder die originalen Werte ein, so erhalten wir wieder P: $33=18*3-21$

Hilfsfunktionen

Gewisse Funktionen dienen in der Mathematik nicht einem direkten praktischen Bezug sondern helfen andere Funktionen auszuführen oder eine Funktion in eine andere zu überführen.

Quadratische Ergänzung

Eine Grundlage der Mathematik besteht darin, dass man in einer Gleichung jederzeit einen Teil hinzufügen kann, wenn man diesen Teil entsprechend wieder abzieht nd sich so ein Nullsummenspiel ergibt. Diese zunächst sinnlose Operation hilft aber dabei, dass man damit einen anderen Teil der Gleichung bewusst umformuieren kann. Dabei bleibt das Gesamtprodukt gleich, doch die Darstellung ändert sich, so dass man damit entweder eine einfachere Form erhält oder dadurch gezielt Werte ablesen kann, die man ohne Umformung nicht aus der Gleichung ersehen würde. Damit man sieht, dass es auch bei "ungeraden" Zahlen funktioniert, werden zwei Beispiele aufgezeigt:

$f(x)=20x+17+2x^{2}$
$f(x)=-9+3x^{2}+2x$

1. Zuerst wird die Gleichung sortiert in absteigender Folge der Polynome:
   $f(x)=2x^{2}+20x+17$
   $f(x)=3x^{2}+2x-9$
2. Danach wird der Koeffizient des quadratischen Teils ausgeklammert:
   $f(x)=2(x^{2}+10x)+17$
   Durch die "unglücklichen" Werte im zweiten Term ergibt sich beim x ein Bruch, mit dem aber natürlich auch gerechnet werden kann:
   $f(x)=3(x^{2}+{\frac {2}{3}}x)-9$
3. Nun wird quadratisch ergänzt, wobei dieser Wert fix der quadrierten Hälfte des Koeffizienten von x erhält:
   10x → $({\frac {10}{2}})^{2}$ → 25
   ${\frac {2}{3}}x$ → $({\frac {\frac {2}{3}}{2}})^{2}$ → ${\frac {16}{9}}$ → 1.778
4. Dieser Wert wird nun in der Formel ergänzt und wieder abgezogen:
   $f(x)=2(x^{2}+10x+25-25)+17$
   Bei Brüchen sollten diese erst am Schluss (wenn verlangt) ausgerechnet werden, damit keine Rundungsfehler auftreten:
   $3(x^{2}+{\frac {2}{3}}x+{\frac {16}{9}}-{\frac {16}{9}})+17$
5. Auf Grund des berechneten Wertes der Ergänzung lässt sich nun der quadratische Teil einfach mit der binomischen Formel zusammenfassen:
   $f(x)=2((x+5)^{2}-25)+17$
   Dies geht natürlich nun auch mit dem Bruch:
   $f(x)=3((x+{\frac {4}{3}}x)^{2}-{\frac {16}{9}})-9$
   
6. Jetzt kann der numerische Teil ausmultipliziert werden:
   $f(x)=2(x+5)^{2}-50+17$
   $f(x)=3(x+{\frac {4}{3}}x)^{2}-{\frac {48}{9}}-9$
7. Nach dem ausrechnen hat man in diesem Fall die Scheitelform der Gleichung:
   $f(x)=2(x+5)^{2}-33$
   $f(x)=3(x+{\frac {4}{3}}x)^{2}-14{\frac {1}{3}}$

Sonderfall bx = 0

Im Fall, dass $b=0$ ist, kann man sich die Umrechnung sparen, da die Scheitelform schon gegeben ist. Bei $3x^{2}+19=0$ ergibt sich $3(x+0)^{2}+19$ → Der Scheitelpunkt liegt also in dieser Form immer bei S (0|c).

Mitternachtsformel (Quadratische Lösungsformel) zur Findung der Nullstellen

Hat ihren Namen davon, dass man sie auch um Mitternacht rezitieren können sollte, wenn man aus dem Schlaf gerissen wird ;-). Sie dient dazu, jegliche quadratische Formeln exakt zu lösen. Die Alternative ist die pq-Formel unterhalb.

Die Lösung der Normalform $0=ax^{2}+bx+c$ lautet:

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Wie viele Lösungen es gibt ist davon abhängig, welche Zahl die Diskriminante D ergibt, die man folgendermassen berechnet:$D=b^{2}-4ac$ → Es handelt sich dabei um die Summe unter der Wurzel. Ist diese negativ, ist die Lösung entsprechend imaginär.

• zwei Lösungen, falls $D>0$ (Scheitelpunkt unter- oder oberhalb Nulllinie und die Linien schneiden die Nulllinie)
• genau eine Lösung, falls $D=0$ (Scheitelpunkt auf der Nulllinie)
• gar keine Lösung, falls $D<0$ (die Linien schneiden die Nulllinie nicht)

• $4x-2x^{2}+7=x^{2}-5$ (→ In Normalform bringen)
• $-3x^{2}+4x+12=0$ (→ Faktoren bestimmen)
• $a=-3,b=4,c=12$ (→ Nun in die Formel einsetzen)
• $x_{1,2}={\frac {-4\pm {\sqrt {4^{2}-4*-3*12}}}{2*-3}}$
• $x_{1,2}={\frac {-2\pm {\sqrt {160}}}{-3}}$
• $x_{1,2}={\frac {2}{3}}\pm 4{\sqrt {10}}$

Kontrolle: $D=16-4*-3*12$ → $D=160$ → 2 Lösungen

pq-Formel (Quadratische Lösungsformel) zur Findung der Nullstellen

Ist eine Alternative zur Mitternachtsformel oben. Die Werte von p und q entsprechen den Werten von b und c.$0=x^{2}+px+q$. $x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {({\frac {p}{2}})^{2}-q}}$ oder $x_{1,2}=-{\frac {b}{2}}\pm {\sqrt {({\frac {b}{2}})^{2}-c}}$

• Damit die Formel angewendet werden kann, muss $a=1$ sein. Das heisst, wenn dies nicht der Fall ist, muss die Gleichung durch den Faktor a dividiert werden, so dass meist Brüche entstehen ($0=x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}$).
• Auch hier darf die Diskriminante D (Wert unter der Wurzel) nicht negativ sein und bei $D=0$ ergibt sich als Lösung nur $-{\frac {p}{2}}$.

• $4x-2x^{2}+7=x^{2}-5$ (→ In Normalform bringen)
• $-3x^{2}+4x+12=0$ (→ a auf 1 setzen, durch Division mit -3)
• $x^{2}-{\frac {4}{3}}x-4=0$ (→ Werte in Formel einsetzen)
• $x_{1,2}={\frac {\frac {4}{3}}{2}}\pm {\sqrt {({\frac {\frac {4}{3}}{2}})^{2}+4}}$
• $x_{1,2}={\frac {8}{3}}\pm {\sqrt {11{\frac {1}{9}}}}$

Polynom-Division zur Findung der Nullstellen

Bei höheren Polynomen als $x^{2}$ ist das finden der Nullstellen nicht mit einer einfachen Formel anwendbar, wenn man nicht einfach x ausklammern und Null setzen kann. In diesem Fall muss eine Nullstelle "gepröbelt" werden, damit man anschliessend mittels Polynom-Division die restlichen Nullstellen finden kann. Um die erste Nullstelle zu finden, kann man bei kurzen Polynomen einfach testen mit einem Teiler von $a_{0}$. Als Beispiel: $f(x)=x^{3}+4x^{2}-51x-54$ → ($\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 3$, $\pm 6$, $\pm 9$).

Hier wird man etwa bei -1 fündig: $0=-1+4+51-54$

Nun kann mit der Polynom-Division begonnen werden, die wie die schriftliche Division ausgeführt wird, doch bei der man mit dem Term zurückrechnen muss.

• $(x^{3}+4x^{2}-51x-54):(x+1)$ → Da die Nullstelle bei -1 ist, kann man den Divisor entsprechend setzen.
• Wichtig ist nun, dass man hier nicht versucht, durch den ganzen Term zu dividieren, sondern man dividiert immer nur durch x, doch anschliessend rechnet man mit dem Term zurück.
• $(x^{3}+4x^{2}-51x-54):x=x^{2}$ → nun muss mit (x + 1) zurückgerechnet werden
• $x^{2}*(x+1)=x^{3}+x^{2}$ → dieser Wert muss nun vom originalen Polynom abgezogen werden
• $(x^{3}+4x^{2}-51x-54)-(x^{3}+x^{2})=3x^{2}-51x-54$ → Nun kann wieder durch x dividiert werden
• $(3x^{2}-51x-54):x=3x$ → Nun hat man $x^{2}+3x$ als Resultat und es muss wieder mit (x + 1) zurückgerechnet werden
• $3x*(x+1)=3x^{2}+3x$ → dieser Wert muss nun vom reduzierten Polynom abgezogen werden
• $(3x^{2}-51x-54)-(3x^{2}+3x)=-54x-54$ → Nun wird nochmals durch x dividiert
• $(-54x-54):x=-54$ → Nun hat man $x^{2}+3x-54$ als Resultat und es muss wieder mit (x + 1) zurückgerechnet werden
• $-54*(x+1)=-54x-54$ → dieser Wert muss nun vom reduzierten Polynom abgezogen werden
• $(-54x-54)-(-54x-54)=0$ → Das Polynom wurde vollständig zerlegt und konnte ohne Restwert abgeschlossen werden
• Nun hat man das tiefere korrekte Restpolynom: $(x+1)(x^{2}+3x-54)$ → Dieses können wir nun wieder einfach ausrechnen und erhalten 6 und -9 für die restlichen Nullstellen

Polynom-Substitution (Ersetzung) zur Findung der Nullstellen

Bei "geraden" Polynomen kann man die Variable ersetzen und erhält so ein tieferes Polynom, mit dem man weiter arbeiten kann: $f(x)=x^{4}+a_{2}x^{2}+a0$
Hier ersetzt man $x^{2}$ durch y und erhält: $f(y)=y^{2}+a_{2}y+a0$.
Dieses Polynom wird normal ausgerechnet und die erhaltenen Werte können dann "zurückgerechnet" werden: $x_{1},x_{2}=\pm {\sqrt {y_{1}}}$ und $x_{3},x_{4}=\pm {\sqrt {y_{2}}}$
Die Lösungen existieren natürlich nur, wenn die Werte der erhaltenen y nicht negativ sind.

Beispiel:

• $f(x)=x^{4}+5x^{2}+6$ → $x^{2}$ mit y substituieren
• $f(y)=y^{2}+5y+6$ → Polynom mit Formel ausrechnen ergibt die Nullstellen $y_{1}=2$ und $y_{2}=3$
• Die Wurzeln der Lösungen ergeben die Nullstellen von f(x) → $x_{1},x_{2}=\pm {\sqrt {2}}$ und $x_{3},x_{4}=\pm {\sqrt {3}}$