Funktionslehre

Einführung

Diese Seite behandelt alle Themen über Mathe. Wie man Formeln eingibt, kann man im Artikel https://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula/de nachschauen.

Punkt

Ein Punkt ist ein genau definierter Ort im System (P). Je nach Dimension braucht es mehrere Werte, um diesen Punkt genau zu bestimmen und zwar pro Dimension einen Wert.

• 1 Dimension (Strahl) = 1 Wert (x = 5) → 5
• 2 Dimensionen (Gitternetz) = 2 Werte (x = 7, y = 5) → (7/5)
• 3 Dimensionen (Koordinatennetz) = 3 Werte (x = -2, y = 5, z = -4) → (-2/5/-4)
• In der Mathematik interessiert normalerweise nur, ob ein anderes Objekt einen bestimmten Punkt berührt oder ob er sich in einer bestimmten Entfernung davon befindet.
• Bei imaginären Dimensionen > 3 werden die Dimensionen entsprechend erweitert und meist auch anders benannt (n = -1, m = 0, o = 4, p = 6) → (-1/0/4/6).
• In der Vektor-Darstellung werden die Werte untereinander geschrieben, wobei x zuoberst, dann y und nachher z kommt. $P={\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}}$

Lineare Funktionen

Grundvoraussetzungen

• Bei einer linearen Funktion entsteht immer eine Linie, welche als Gerade bezeichnet wird.
• Die Steigung der Linie in Bezug auf die x-/y-Achse wird meist mit dem Kürzel $m$ bezeichnet.
• Die Steigung beschreibt, wie stark sich der y-Wert in Bezug auf den x-Wert ändert. Dieser Wert wird als Verhältnis ${\frac {\Delta y(y1-y0)}{\Delta x(x1-x0)}}$ beschrieben.
• Die Zahl ohne Variable beschreibt den Abstand der Geraden zum Nullpunkt.
• Der unbekannte Wert wird mt y bezeichnet und hängt immer von der Anfangsgrösse x ab.

$y=mx+c$

Beispiel lineare Funkion

Gerade als Funktion

$y=2x+3$

In diesem Fall ist die Steigung $m=2$ und die Verschiebung des Nullpunkt-Durchgangs $c=3$.

Für den Wert 4 von x erhält man dann $2*4+3=11$ für y. Für den Wert -2 von x ergibt sich $2*-2+3=-1$ für y.

Gerade als Vektor

In diesem Fall wird ein Punkt auf der Gerade angegeben und anschliessend die Verschiebung von dort in die entsprechenden Achsen.

g = ${\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}}+r*{\begin{pmatrix}-1\\7\\2\end{pmatrix}}$

In diesem Fall wird von jedem beliebigen Punkt auf der Geraden immer um ein vielfaches von -1 Richtung x-Achse verschoben, während man sich auf der y-Achse um 7 bewegt und auf der z-Achse um 2. Wenn man also den Faktor r = 3 wählt und als Startpunkt die gegebenen Werte ${\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}}$, so landet man auf ${\begin{pmatrix}3+3*-1\\4+3*7\\5+3*2\end{pmatrix}}$ → ${\begin{pmatrix}0\\25\\11\end{pmatrix}}$

Windschiefe Geraden

Diese Geraden können nur in 3 oder mehrdimensionalen Räumen auftreten, da sie nicht parallel sind, doch sich nicht kreuzen. Dies geht entsprechend nur, wenn sie in einer Ebene "parallel" sind und sich nur in den anderen Ebenen unterscheiden. In einem 2-dimensionalen Raum würden sie sich entsprechend immer schneiden oder parallel sein.

Winkel berechnen

Der Winkel in Bezug zur x-Achse kann auf Grund des Verhältnisses der Steigung bestimmt werden (Mathebibel Steigungswinkel), da die Steigung das Verhältnis vom x zum y Wert angibt. Entsprechend kann der Tangens berechnet werden und dadurch der Steigungswinkel. Heisst etwa die Formel $y=2x+3$, so ist nur der Wert 2 relevant. Je nach Rechner kann man hier direkt $\arctan(2)$ eingeben. Sollte die Funktion nicht zur Verfügung stehen, so gibt es Onlinerechner: Rechner Club. Theoretisch kann man ihn auch mit folgender Formel berechnen: ${\frac {x}{1+0.28*x^{2}}}$, doch das gibt mir komische Werte.

Gerade und Punkt berechnen

Hat man eine lineare Funktion und möchte wissen, ob diese einen Punkt berührt, so kann man die Werte entsprechend einsetzen.

Funktion

$P=(3/9)$, $f(x)=2x+3$

$y=2*3+3$ → $y=9$ Entsprechend liegt der Punkt auf der Geraden.

Vektor

$P={\begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix}}$, $g={\begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}}+r*{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$

Damit man weiss, ob der Punkt auf der geraden liegt, muss der Faktor der Gleichung immer den selben Wert annehmen:

• $3=-3+1r$ → $r=6$
• $9=4+2r$ → $r=2.5$

In diesem Fall ist der Faktor unterschiedlich und damit liegt der Punkt nicht auf der Geraden. Die Vorgehensweise ist auch bei mehr Dimensionen die Gleiche. Der Wert muss in allen Dimensionen übereinstimmen.

Schnittpunkt zweier Geraden

Bei zwei Geraden kann es sein, dass diese keinen definierten Schnittpunkt haben, weil diese

• vielfache (unendliche Schnittpunkte)
• parallele (keine Schnittpunkte)
• windschief (keine Schnittpunkte, da auf einer Ebene parallel)

sind.

Diese Punkte müssen geprüft werden, wenn die Lösung keine eindeutige Schnittmenge liefert.

Funktionen

Bei Funktionen ist dies relativ einfach, da man diese einfach gleichsetzen kann: $f:2y+3=4x$, $g:8=3x-3y$

• Zuerst eine der Variablen alleine setzen: $f:y={\frac {4x-3}{2}}$, $g:y={\frac {3x-8}{3}}$
• Nun kann man das Additions-, Einsetzungs- oder Gleichsetzungsverfahren anwenden. Bei nur einer unbekannten ist die Gleichsetzung die einfachste. Bei mehreren Dimensionen ist sicher die Addition die gebräuchlichste.
• ${\frac {4x-3}{2}}={\frac {3x-4}{3}}$ → $x={\frac {1}{6}}$
• Nun kann x eingesetzt werden und man erhält dadurch: $y={\frac {4*{\frac {1}{6}}-3}{2}}$ → $y=-{\frac {7}{6}}$

Vektoren

Bei Vektoren ist das Vorgehen gleich wie bei Funktionen. Diese werden gleichgesetzt und anschliessend werden die fehlenden Werte berechnet: $f:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}}+r*{\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}}$, $g:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}+s*{\begin{pmatrix}-6\\-1\end{pmatrix}}$

• Gleichsetzen der x-Werte: $5+2r=2-6s$
• Gleichsetzen der y-Werte: $7-3r=4-s$
• Nun wird wieder nach einer Variable aufgelöst: $r=-{\frac {1+2s}{2}}$, $r={\frac {3+s}{3}}$
• Jetzt werden diese gleichgesetzt: $-{\frac {1+2s}{2}}={\frac {3+s}{3}}$ → $s=-{\frac {3}{4}}$
• Nun kann s eingesetzt werden und man erhält: $7-3r=4-{\frac {3}{4}}$ → $r={\frac {5}{4}}$
• Nun setzt man einen der Werte in den entsprechenden Vektor und erhält den Schnittpunkt: $f:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}}+{\frac {5}{4}}*{\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}}$ → $S={\begin{pmatrix}7.5\\4.75\end{pmatrix}}$, $g:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}+-{\frac {3}{4}}*{\begin{pmatrix}-6\\-1\end{pmatrix}}$ → $S={\begin{pmatrix}7.5\\4.75\end{pmatrix}}$

Wie man sieht, genügt es eigentlich, wenn man nur einen Wert berechnet und einsetzt. Berechnet man aber beide Werte, so kann man sofort beim Einsetzen feststellen, ob die Rechnung korrekt ist, wenn nämlich beides Mal der gleiche Schnittpunkt herauskommt.

Umwandlung einer Funktionsgeraden in einen Vektor und umgekehrt

Da beide Darstellungen (Funktion / Vektor) identisch sind, doch einfach in einer anderen Darstellungsweise, kann man diese ineinander umrechnen. Dies ist etwa notwendig, wenn man eine Gerade als Vektor hat und wissen möchte, wo diese eine gegebene quadratische Funktion schneidet.

Vektor → Funktion

$g={\begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}}+r*{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$

• Zuerst wird die Steigung $m$ berechnet. Diese ergibt sich aus dem hinteren Teil, der die Steigung als Steigungsdreieck angibt. Die Steigung wird daher als Bruch der Differenzen berechnet: $m={\frac {2}{1}}$ → $m=2$. Bei mehr Dimensionen müssen halt einfach alle einberechnet werden, um die Steigung korrekt anzugeben.

• Nun muss noch der Punkt berechnet werden, an dem die Steigung die y-Achse schneidet. Dazu müssen wir den Punkt $(0/y)$ berechnen, welcher sich ergibt, wenn wir diesen mit der Geraden gleichsetzen und r berechnen, wodurch wir dann y erhalten. $0=-3+r*1$ → $r=3$ nun setzen wir $r$ in die zweite Gleichung ein, um $y$ zu berechnen: $y=4+3*2$ → $y=10$
• Nun können wir die Funktion aufschreiben $y=2x+10$

Funktion → Vektor

$y=2x+10$

• Bei der Umrechnung einer Funktion in einen Vektor müssen wir nicht unbedingt den gleichen "Startpunkt" erhalten, wie wenn man von einem Vektor in eine Funkion umrechnet, da der Vektor von einem beliebigen Punkt auf der Geraden definiert werden kann.
• Da jede Funktion die Y-Achse beim Punkt $x=0$ schneidet, können wir direkt einen Startpunkt auslesen. In diesem Fall ist dies (0/10) → $g={\begin{pmatrix}0\\10\end{pmatrix}}+r*{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$
• Die Steigung ist das Produkt der Differenz von y und x. In diesem Fall $m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {2}{1}}$. Dies gibt uns nun direkt den Vektor:
• $g={\begin{pmatrix}0\\10\end{pmatrix}}+r*{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$

Man sieht, dass der Steigungsvektor im hinteren Teil identisch ist. Möchte man nun kontrollieren, ob der Startpunkt in der obigen Rechnung (-3/4) wirklich auch auf der Gerade liegt, wird wieder das Kapitel "Punkt und Gerade" angewendet: $-3=0+r*1$ → $r=-3$. Nun wird dieser Wert für y überprüft: $4=10+-3*2$ → $4=4$. Da die Aussage wahr ist, stimmt der berechnete Vektor mit dem Ursprungsvektor überein und die Umwandlung ist korrekt, auch wenn man nicht die gleichen Werte bekommen hat.

Kurvendiskussion (quadratische Funktionen)

Unter Kurvendiskussion versteht man spezielle Punkte einer mindestens quadratischen Funktion, da erst mit einem quadratischen Anteil eine Kurve entsteht. Ist der quadratische Anteil 0, so entsteht wieder eine Gerade.

allgemeine Form

Die Normalform oder allgemeine Form wird folgendermassen geschrieben: $f(x)=ax^{2}+bx+c$. Bei höheren Polynomen entsprechend: $f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$

Scheitelform

Bei der Scheitelform kann man aus der Funktion den Wert des Scheitelpunktes direkt ablesen: $f(x)=a(x-d)^{2}+e$.