Funktionslehre

Einführung

Diese Seite behandelt alle Themen über Mathe. Wie man Formeln eingibt, kann man im Artikel https://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula/de nachschauen.

Punkt

Ein Punkt ist ein genau definierter Ort im System (P). Je nach Dimension braucht es mehrere Werte, um diesen Punkt genau zu bestimmen und zwar pro Dimension einen Wert.

• 1 Dimension (Strahl) = 1 Wert (x = 5) → 5
• 2 Dimensionen (Gitternetz) = 2 Werte (x = 7, y = 5) → (7/5)
• 3 Dimensionen (Koordinatennetz) = 3 Werte (x = -2, y = 5, z = -4) → (-2/5/-4)
• In der Mathematik interessiert normalerweise nur, ob ein anderes Objekt einen bestimmten Punkt berührt oder ob er sich in einer bestimmten Entfernung davon befindet.
• Bei imaginären Dimensionen > 3 werden die Dimensionen entsprechend erweitert und meist auch anders benannt (n = -1, m = 0, o = 4, p = 6) → (-1/0/4/6).
• In der Vektor-Darstellung werden die Werte untereinander geschrieben, wobei x zuoberst, dann y und nachher z kommt. $P={\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}}$

Lineare Funktionen

Grundvoraussetzungen

• Bei einer linearen Funktion entsteht immer eine Linie, welche als Gerade bezeichnet wird.
• Die Steigung der Linie in Bezug auf die x-/y-Achse wird meist mit dem Kürzel $m$ bezeichnet.
• Die Steigung beschreibt, wie stark sich der y-Wert in Bezug auf den x-Wert ändert. Dieser Wert wird als Verhältnis ${\frac {\Delta y(y1-y0)}{\Delta x(x1-x0)}}$ beschrieben.
• Die Zahl ohne Variable beschreibt den Abstand der Geraden zum Nullpunkt.
• Der unbekannte Wert wird mt y bezeichnet und hängt immer von der Anfangsgrösse x ab.

$y=mx+c$

Beispiel lineare Funkion

Gerade als Funktion

$y=2x+3$

In diesem Fall ist die Steigung $m=2$ und die Verschiebung des Nullpunkt-Durchgangs $c=3$.

Für den Wert 4 von x erhält man dann $2*4+3=11$ für y. Für den Wert -2 von x ergibt sich $2*-2+3=-1$ für y.

Gerade als Vektor

In diesem Fall wird ein Punkt auf der Gerade angegeben und anschliessend die Verschiebung von dort in die entsprechenden Achsen.

g = ${\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}}+r*{\begin{pmatrix}-1\\7\\2\end{pmatrix}}$

In diesem Fall wird von jedem beliebigen Punkt auf der Geraden immer um ein vielfaches von -1 Richtung x-Achse verschoben, während man sich auf der y-Achse um 7 bewegt und auf der z-Achse um 2. Wenn man also den Faktor r = 3 wählt und als Startpunkt die gegebenen Werte ${\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}}$, so landet man auf ${\begin{pmatrix}3+3*-1\\4+3*7\\5+3*2\end{pmatrix}}$ → ${\begin{pmatrix}0\\25\\11\end{pmatrix}}$

Winkel berechnen

Der Winkel in Bezug zur x-Achse kann auf Grund des Verhältnisses der Steigung bestimmt werden (Mathebibel Steigungswinkel), da die Steigung das Verhältnis vom x zum y Wert angibt. Entsprechend kann der Tangens berechnet werden und dadurch der Steigungswinkel. Heisst etwa die Formel $y=2x+3$, so ist nur der Wert 2 relevant. Je nach Rechner kann man hier direkt $\arctan(2)$ eingeben. Sollte die Funktion nicht zur Verfügung stehen, so gibt es Onlinerechner: Rechner Club. Theoretisch kann man ihn auch mit folgender Formel berechnen: ${\frac {x}{1+0.28*x^{2}}}$, doch das gibt mir komische Werte.

Gerade und Punkt berechnen

Hat man eine lineare Funktion und möchte wissen, ob diese einen Punkt berührt, so kann man die Werte entsprechend einsetzen.

Funktion

$P=(3/9)$, $f(x)=2x+3$

$y=2*3+3$ → $y=9$ Entsprechend liegt der Punkt auf der Geraden.

Vektor

$P={\begin{pmatrix}3\\9\end{pmatrix}}$, $g={\begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}}+r*{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$

Damit man weiss, ob der Punkt auf der geraden liegt, muss der Faktor der Gleichung immer den selben Wert annehmen:

• $3=-3+1r$ → $r=6$
• $9=4+2r$ → $r=2.5$

In diesem Fall ist der Faktor unterschiedlich und damit liegt der Punkt nicht auf der Geraden. Die Vorgehensweise ist auch bei mehr Dimensionen die Gleiche. Der Wert muss in allen Dimensionen übereinstimmen.

Umwandlung einer Funktionsgeraden in einen Vektor und umgekehrt

Da beide Darstellungen (Funktion / Vektor) identisch sind, doch einfach in einer anderen Darstellungsweise, kann man diese ineinander umrechnen. Dies ist etwa notwendig, wenn man eine Gerade als Vektor hat und wissen möchte, wo diese eine gegebene quadratische Funktion schneidet.

Vektor → Funktion

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{pmatrix}“): {\displaystyle g = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} 1 \\ 2 end{pmatrix}}

• Zuerst wird die Steigung $m$ berechnet. Diese ergibt sich aus dem hinteren Teil, der die Steigung als Steigungsdreieck angibt. Die Steigung wird daher als Hypothenuse des Dreiecks berechnet: $m={\sqrt {1^{2}+2^{2}}}$ → $m\approx 2.2$. Bei mehr Dimensionen müssen halt einfach alle einberechnet werden, um die Steigung korrekt anzugeben.

Kurvendiskussion (quadratische Funktionen)

Unter Kurvendiskussion versteht man spezielle Punkte einer mindestens quadratischen Funktion, da erst mit einem quadratischen Anteil eine Kurve entsteht.